趣题: 点在同一个半圆的概率

趣题: 点在同一个半圆的概率 #

题目 #

随机在圆上生成 $n$ 个点, 这 $n$ 个点在同一个半圆的概率是多少?

Solution 1 #

对于任意一个点, 考虑剩余 $n - 1$ 个点是否在从它出发顺时针的半圆上, 这个概率是 $\frac{1}{2^{n - 1}}$ , 而每个点确定的圆弧都可能成为符合要求的那个半圆, 并且相互之间独立, 故答案为 $\frac{n}{2^{n - 1}}$ .

Follow up #

随机在圆内生成 $n$ 个点, 这 $n$ 个点在同一个半圆的概率是多少?

• 答案还是 $\frac{n}{2^{n - 1}}$ , 其实圆内某些点是否在同一个半圆, 这与它们所在半径的端点是否在同一个半圆是等价的, 所以答案不变.
• 这也提供了另一种思路: 考虑 $n$ 个点所在的 $n$ 条半径, 以及半径反向延长的那 $n$ 条半径, 我们的问题变成了: 从 $n$ 条直径的 $2n$ 条半径中选出 $n$ 个, 求它们相邻概率. 这个概率是 $\frac{2n}{2^n} = \frac{2}{2^{n - 1}}$ .
• 更详细的讨论可以参考这里.