↓Skip to main content
  1. Posts/

趣题: 符合要求的最小的 n

·1 min·
Table of Contents

趣题: 符合要求的最小的 n #

题目 #

从 $1, 2, …, n$ 中任意删去 $2023$ 个不同的数, 从剩下的数中仍然能找到 $2023$ 个数, 满足它们的和为 $n$ . 求满足该性质最小的 $n$ .

Solution 1 #

首先 $n \geq 2023 + 2023 = 4046$ . 如果删除 $1, 2, …, 2023$ , 那么有 $n\geq 2024 + 2025 + … + 4046 = 6139805$ . 下面证明 $n = 6139805$ 满足要求. 把$1, 2, …, 6069$ 分成如下这些组: ${1, 6069}, {2, 6068}, …, {3034, 3036}, {3035}$ .

  • 如果没有删去 $3035$ , 那么其它 $3034$ 组中至少还剩余 $3034 - 2023 = 1011$ 个完整的组. 取这 $1011$ 组加上 $3035$ , 共 $2023$ 个数, 和恰为 $6139805$ .
  • 如果删去了 $3035$ , 设其它 $3034$ 组中剩余 $M\geq 3034 - 2022 = 1012$ 个完整的组, 记这 $M$ 组中前 $M - 1010$ 个大数为 $x_1 > x_2 > … > x_{M - 1010}$ . 由于共删除了 $2023$ 个数, 且在 $1, 2, …, 6069$ 中至少删除了 $3035 - M$ 个数, 故在 $6070, 6071, …, 6139805$ 中至多删除了 $M - 1012$ 个数. 考虑数列 ${x_i + x_1 - 3035}, i = 2, …, M - 1010$ , 至少已有一个没有被删掉, 不妨设为 $x_2 + x_1 - 3035$ . 取 $x_1, x_2$ 所在组中的较小数, 再从 $M - 2\geq 1010$ 中取出 $1010$ 组, 共 $2023$ 个数, 和恰为 $6139805$ .

综上所述, $n$ 最小为 $6139805$ .