趣题: 骰子和符合要求的投掷次数

趣题: 骰子和符合要求的投掷次数 #

题目 #

不停投掷一个六面骰子并且把点数累加起来, 直到和为 $n$ 的倍数为止. 证明投掷次数的期望是 $n$ .

Solution 1 #

定义 $E_i$ 为骰子和模 $n$ 余 $i$ 状态下, 在和为 $n$ 的倍数前继续投掷骰子次数的期望, 有 $E_0 = 0$ . 为了方便, 定义 $E_i = E_{n + i}$ . 定义目标期望为 $E$ . 有如下关系: $$ E=1+\frac{1}{6}E_1+\frac{1}{6}E_2+\frac{1}{6}E_3+\frac{1}{6}E_4+\frac{1}{6}E_5+\frac{1}{6}E_6\ E_i = 1 + \frac{1}{6}E_{i + 1}+ \frac{1}{6}E_{i + 2}+ \frac{1}{6}E_{i + 3}+ \frac{1}{6}E_{i + 4}+ \frac{1}{6}E_{i + 5}+ \frac{1}{6}E_{i + 6}, i=1, 2, …, n-1 $$ 对这 $n$ 个式子求和, 有 $$E + \sum_{i = 1}^{n}E_i = n + \sum_{i = 1}^{n - 1}6\times\frac{1}{6}E_i$$ 故 $$ E = n $$