趣题: 唱票过程出现至少一次平局的概率

趣题: 唱票过程出现至少一次平局的概率 #

题目 #

选举箱中有两个候选人 $A, B$ 的选票, 数量分别为 $a$ 和 $b$ . 现在从箱中随机地、一张张地唱票, 这个过程中至少一次出现两人票数平局的概率是多少?

Solution 1 #

不妨假设 $a > b$ . 如果第一张抽到 $B$ , 那么显然会出现平局 ($B$ 一路领先直到被追平). 如果第一张抽到 $A$ , 那么有两种情况:

• $A$ 一路领先直到被追平
• $A$ 一路领先到最后

第一种情况的数量和先抽到 $B$ 的情况是相同的 (把序列前面的 $A, B$ 交换即可) , 所以唱票过程出现至少一次平局的概率为 $\frac{2b}{a+b} = \frac{2min(a,b)}{a +b}$ .