趣题: 满足条件的所有 n

趣题: 满足条件的所有 n #

题目 #

设自然数 $n > 1$ , 现有 $n - 1$ 个分数 $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots , \frac{n - 1}{n}$ , 将这些分数化为最简分数, 把这些最简分数的分子相加, 得到的和记为 $f(n)$ . 求所有自然数 $n$ , 满足 $f(n)$ 与 $f(2021n)$ 的奇偶性不同.

Solution 1 #

注意到

• 加减一个偶数不影响一个数的奇偶性
• 乘除一个奇数不影响一个数的奇偶性

我们只关心 $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots , \frac{n - 1}{n}$ 的最简分数形式中奇数分子数量的奇偶性.

如果 $n$ 是奇数, 那么 $f(n)$ 为奇数; $2021n$ 也是奇数, 故 $f(2021n)$ 也为奇数, 不满足条件.

如果 $n$ 是偶数, 记 $n = 2^km$ , 其中 $m$ 为奇数. 考虑 $\frac{i}{n}, 1\leq i\leq n - 1$ , 若 $i$ 为奇数, 那么约分后也为奇数, 这样的奇数一共有 $\frac{n}{2} = 2^{k-1}m$ 个; 若 $i$ 为偶数, 设 $i = 2^{k_i}m_i$ , 只有当 $k_i > k$ 时约分结果为为偶数, 这样的偶数一共有 $\lfloor \frac{n}{2^{k + 1}}\rfloor$ 个, 所以 $i$ 为偶数时提供的奇数为 $2^{k - 1}m - 1 - \lfloor \frac{n}{2^{k + 1}}\rfloor$ 个. 对于偶数 $n$ , 最终 $f(n)$ 的奇偶性与 $2^{k-1}m + 2^{k - 1}m - 1 - \lfloor \frac{n}{2^{k + 1}}\rfloor = 2^{k}m - 1 - \lfloor \frac{n}{2^{k + 1}}\rfloor \equiv \lfloor \frac{n}{2^{k + 1}}\rfloor + 1$ 相同. 而 $f(2021n) \equiv \lfloor\frac{2021n}{2^{k + 1}}\rfloor + 1= \lfloor\frac{2^k\cdot 2021m}{2^{k + 1}}\rfloor + 1= \lfloor\frac{2^k\cdot 2020m}{2^{k + 1}} + \frac{2^k\cdot m}{2^{k + 1}}\rfloor + 1 = \lfloor1010m + \frac{2^k\cdot m}{2^{k + 1}}\rfloor + 1 = 1010m + \lfloor \frac{2^k\cdot m}{2^{k + 1}}\rfloor + 1\equiv \lfloor\frac{2^k\cdot m}{2^{k + 1}} = \lfloor \frac{n}{2^{k + 1}}\rfloor + 1 \equiv f(n)$ , 故满足条件的偶数 $n$ 也不存在.

综上, 不存在满足要求的自然数 $n$ .