趣题: 连赢两次的概率

趣题: 连赢两次的概率 #

题目 #

$A,B,C$ 三人下棋, 规则为: 两人下, 赢的人与第三人下, 直到其中某一人连赢两局, 此人立即胜出. 若 $A$ 与 $B$ 第一轮下, 求 $A$ 赢的概率.

Solution 1 #

注意到, 如果第一盘 $A$ 赢, 那么对局会在 $A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$ 的顺序进行, 或者在中途某一步终止 (获胜) . 考虑这一情况下 $A$ 赢的概率 $p_A$ , 按照状态转移有: $$ p_A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} p_A $$ 解得 $p_A = \frac{4}{7}$ . 对于 $B$ , 其赢的概率为 $$ p_B = \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} p_A = \frac{1}{7} $$ 由对称性, 如果第一局 $B$ 获胜, 那么此情况下 $A$ 赢的概率同样为 $\frac{1}{7}$ . 综上, $A$ 获胜的概率为 $\frac{1}{2}\times \frac{4}{7} + \frac{1}{2}\times \frac{1}{7} = \frac{5}{14}$ .