趣题: 唱票结束前没有出现平局的概率

趣题: 唱票结束前没有出现平局的概率 #

题目 #

选举箱中有两个候选人 $A, B$ 的选票, 数量均为 $n$ . 现在从箱中随机地、一张张地唱票, 在唱完所有票前, 没有出现两人票数平局的概率是多少?

Solution 1 #

之前博客中介绍过一道类似的题 趣题: 唱票过程出现至少一次平局的概率 , 摘抄如下:

• 选举箱中有两个候选人 $A, B$ 的选票, 数量分别为 $a$ 和 $b$ . 现在从箱中随机地、一张张地唱票, 这个过程中至少一次出现两人票数平局的概率是多少?
• 答案为 $\frac{2min(a, b)}{a + b}$ .

现在考虑本题, 我们考虑唱票序列的前 $2n - 1$ 位, 问题转化为票数分别为 $n$ 和 $n - 1$ 的两位候选人唱票过程中不出现平局的概率, 这个概率显然是 $1 - \frac{2\times(n - 1)}{n + (n - 1)} = \frac{1}{2n-1}$ .