趣题: 证明一个式子不为整数

趣题: 证明一个式子不为整数 #

题目 #

设 $a,b\in \Z$ , 证明 $\frac{2a^2 - 1}{b^2 + 2}\notin\Z$ .

Solution 1 #

假设 $\frac{2a^2 - 1}{b^2 + 2}\in \Z$ , 则有 $b^2 + 2 \mid 2a^2 - 1$ , 因为 $2a^2 - 1$ 为奇数, 故 $b$ 为奇数. 考虑模 $4$ 的情况, $b^2 \equiv 1\ mod\ 4$ , $b^2 + 2\equiv 3\ mod\ 4$ , 故 $b^2 + 2$ 必有一个形如 $4k + 3$ 的素因子, 不妨记为 $p$ , 有 $-b^2\equiv 2\ mod\ p$ ; 又因为 $b^2 + 2 \mid 2a^2 - 1$ , 故 $-1 \equiv -2a^2\equiv a^2b^2\ mod\ p$ , 有 $a, b$ 均与 $p$ 互质. 由费马小定理, 有 $(ab)^{p-1}\equiv 1\ mod\ p$ . 而 $(ab)^{p - 1} \equiv (ab)^{4k+2} \equiv (a^2b^2)^{2k+1} \equiv (-1)^{2k+1} \equiv -1\ mod\ p$ , 这与 $(ab)^{p-1}\equiv 1\ mod\ p$ 矛盾, 故假设不成立, 即 $\frac{2a^2 - 1}{b^2 + 2}\notin\Z$ .