趣题: 证明存在系数使得不等式成立

趣题: 证明存在系数使得不等式成立 #

题目 #

设 $a_1, a_2, … , a_n(n\geq 2)$ 为实数, 证明: 可以选取 $\epsilon_1, \epsilon_2, …, \epsilon_n\in{-1, 1}$ , 使得 $$ (\sum_{i = 1}^{n}a_i)^2+(\sum_{i = 1}^{n}\epsilon_i a_i)^2\leq (n+1)\sum_{i=1}^{n}a_i^2 $$

Solution 1 #

由对称性不妨假设 $a_1\geq a_2\geq …\geq 0$ . 考虑如下的 $\epsilon_i$ 取法:

• $\epsilon_1 = 1$ ;
• $\epsilon_{k + 1}$ 取和 $\sum_{i = 1}^{k}\epsilon_i a_i$ 相反的符号;

由于 $a_1\geq a_2\geq …\geq 0$ , 故 $\vert \sum_{i=1}^{k}\epsilon_i a_i\vert$ 不增, 故有 $\vert \sum_{i=1}^{k}\epsilon_i a_i\vert \leq a_1$ , 从而有 $(\sum_{i=1}^{n}\epsilon_i a_i)^2\leq a_1^2\leq \sum_{i=1}^n a_i^2$ . 又由柯西不等式有 $(\sum_{i = 1}^{n}a_i)^2 \leq n\sum_{i=1}^na_i^2$ , 所以 $$ (\sum_{i = 1}^{n}a_i)^2+(\sum_{i = 1}^{n}\epsilon_i a_i)^2\leq (n+1)\sum_{i=1}^{n}a_i^2 $$ 成立.