趣题: 找出所有符合要求的 n

趣题: 找出所有符合要求的 n #

题目 #

设 $1 = d_1 < d_2 < … < d_k = n$ 是合数 $n$ 的全部正因数, 若对任意 $1\leq i\leq k-2$ , 均有 $d_i\mid d_{i + 1} + d_{i + 2}$ , 求 $n$ .

Solution 1 #

首先, $d_2$ 为 $n$ 最小的素因子, 记作为 $p$ . $d_{k - 2}\mid d_{k-1} + d_k$ , 由于 $d_{k - 2}\mid d_k = n$ , $d_{k - 2}\mid d_{k - 1}$ , 即 $\frac{n}{d_3}\mid \frac{n}{d_2}$ , 有 $d_2\mid d_3$ , $p$ 也是 $d_3$ 的最小素因子. 假设 $d_3$ 有其它素因子 $q > p$ , 那么 $d_2 = p < q < d_3$ , 这与 $d_2, d_3$ 之间没有其他 $n$ 的正因数矛盾. 故 $d_3$ 只有 $p$ 这一素因子, $d_3$ 只能为 $p^2$ . 又因为 $p\mid d_3 + d_4$ , 故 $p\mid d_4$ , 同样可证 $d_4$ 只有 $p$ 这一素因子, $d_4$ 只能为 $p^3$ . 以此类推, $d_i$ 只能为 $p^{i - 1}$ . 由于 $d_k = n$ , 有 $p^{k - 1} = n$ , 故 $n$ 为素数的 $t$ 次方 ($t\geq 2$) . 不难验证 $n = p^t(t\geq 2)$ 时满足题给性质. 综上, $n$ 为素数的 $t$ 次方 ($t\geq 2$) .